La comparaison à une valeur théorique

1. Histoire et utilisation du théorème central limite

L’approximation par la loi normale d’une variable est possible grâce au théorème central limite. Initialement appliqué par Abraham de Moivre en 1733 quand la variable suit une loi de Bernouilli, il a ensuite été élargi. Pierre-Simon de Laplace a publié la première démonstration en 1809.

La loi normale est omniprésente en biologie mais aussi dans beaucoup de comptages ou de descriptions. En effet, l’accumulation d’événements conduit à la loi normale.

2. Énoncé du théorème central limite

Soit X₁, X₂, X₃... X_n, un ensemble de n variables aléatoires définies sur le même intervalle de probabilité, indépendantes et suivant la même loi de probabilités non explicitée D. Comme les variables aléatoires suivent la même loi, l’espérance et la variance sont les mêmes pour toutes les variables.

Par exemple, l’expérience de 50 lancers d’un dé correspond à la situation décrite. En effet, chaque lancer suit la loi de probabilités uniforme sur l’intervalle 1, 6 : U(1,6) avec et . Chaque lancer de dé est indépendant des autres lancers (la valeur d’un lancer n’influence pas les autres).

Une fois l’ensemble des variables défini, la somme est calculée : . Par définition, est une variable aléatoire d’espérance  et de variance .

Dans l’exemple des 50 lancers d’un dé, représente la somme des 50 lancers. Son espérance est et .

Lorsque n est suffisamment grand, la variable peut être approximée par une loi normale de mêmes paramètres : .

1. Exemples de comparaison d’une proportion à une valeur théorique

Comme détaillé précédemment, la variable d’intérêt suit une loi normale ou est approximée par une loi normale et les données sont indépendantes.

La formulation des hypothèses du test z à un échantillon dépend de son but :

1. Test de Student

Le test de Student a initialement été présenté dans la revue Biometrika en 1908, dans l’article "The Probable Error of the Mean" écrit par William Gosset sous le pseudonyme de Student. Ce statisticien anglais, employé à la brasserie Guinness à Dublin, a développé ce test pour contrôler la qualité de la stout, mais la politique de confidentialité de l’entreprise l’empêchait de publier ses découvertes sous son nom propre, d’où l’utilisation du pseudonyme "Student" qui a donné son nom à ce test très utilisé. Comme le révèle le titre de l’article, le sujet principal du test de Student est de travailler sur la moyenne. Initialement, le test ne permettait pas de travailler sur des échantillons de grande taille, c’est Ronald Fisher qui a permis la généralisation du test.

Le test de Student de comparaison à une valeur théorique est utilisé sur les chaînes pour vérifier la qualité de la production, mais aussi en biologie pour valider que l’échantillonnage est bien représentatif de la population ou en marketing pour catégoriser une clientèle....

1. Variance d’une variable

Plus fréquemment utilisée pour comparer deux groupes, la variance peut aussi être comparée à une valeur de référence, par exemple pour trier les légumes ou les fruits de mer.

La variance est une mesure abstraite qui permet de caractériser la dispersion d’un échantillon ou d’une distribution, quand c’est la variance d’une loi de probabilités.

Si la variance d’une loi de probabilités est souvent notée V(X), la variance d’un échantillon est notée . La variance est la moyenne des écarts à la moyenne, donc par définition elle est toujours positive :

ou :

L’écart-type, généralement noté , est la racine carrée de la variance.

La variance d’une variable se calcule très facilement dans R grâce à la fonction var() présente dans le package {stats}.

var(women$weight) 

2. Test de comparaison de la variance à une valeur théorique

Le test d’hypothèses se déroule comme la comparaison d’une moyenne à une valeur théorique. L’hypothèse nulle est que la variance de la variable est égale à la valeur théorique, et l’hypothèse alternative qu’elle n’est pas égale. La statistique de test suit une loi du Khi-2, donc l’hypothèse nulle est rejetée lorsque la valeur calculée est supérieure...