Fonctions de manipulation des courbes de taux

Taux simple

Taux composé

Par exemple, pour un instrument payant des intérêts annuels, à la fin de la première période le capital C₁ sera le capital initial C₀ augmenté des intérêts i :

C₁=C₀+i^*C₀=C₀(1+i)

À la deuxième période :

C₂=C₁+i^*C₁=C₁(1+i)=C₀(1+i)²

Et ainsi de suite :

C_n=C₀(1+i)ⁿ

Si le paiement n’est pas annuel, mais à une périodicité p inférieure à l’année (p=12 pour un paiement mensuel), on conserve l’idée de la capitalisation, la formule générale devient :

Il est possible de calculer des taux équivalents. Par exemple, le taux semi-annuel i₂ équivalent au taux annuel i est calculé par la relation :

Taux continu

Si la période de composition p tend vers l’infini, alors il est démontré que :

i_p=ln(1+i).

i_p est appelé taux continu.

Facteur d’actualisation

L’équation C₁=C₀(1+i) implique que , le rapport est appelé facteur d’actualisation.

Il permet de connaître la valeur actuelle d’un montant futur. Les facteurs d’actualisation sont la base des techniques d’évaluation des instruments financiers.

Objectif de la fonction ChangeTaux

Cette fonction permet la conversion d’un taux ou d’un facteur d’actualisation en un autre taux (ou facteur d’actualisation) en modifiant la base de calcul et/ou son type. Elle sera utile pour calculer une courbe de facteurs d’actualisation pour la valorisation des instruments et également pour calculer...

Objectif

Cette fonction calcule les taux ou les facteurs d’actualisation interpolés linéairement pour un vecteur de date.

Par exemple, en utilisant cette courbe de taux :

La recherche du taux au 22 septembre 2025 par interpolation linéaire sur la droite passant par le taux du 22 septembre 2021 et du 22 septembre 2029, donne la valeur 3.14%.

Graphique 7 : Interpolation linéaire

Arguments

Mode de calcul

Cas général

Pour chaque date à calculer Dc, il faut trouver dans le tableau de maturités les 2 dates Dinf et Dsup encadrant Dc, puis interpoler le taux Tc de Dc par une interpolation sur la droite passant par les taux Tinf de Dinf et Tsup de Dsup :

Objectif

Cette fonction calcule les taux ou les facteurs d’actualisation par interpolation cubique pour un vecteur de dates.

Une méthode moins rustique d’interpolation est l’interpolation cubique. Elle consiste à utiliser une équation de degré trois passant par les quatre points encadrant la date recherchée. 

En reprenant les données de l’exemple de la fonction InterpolationLineaire, la valeur interpolée au 22 septembre 2025 est 3.22%.

Graphique 8 : Interpolation linéaire et interpolation cubique

Arguments

Mode de calcul

Cas général

Pour chaque date à calculer Dc, il faut trouver dans le tableau de maturités les quatre dates encadrant Dc :

D1<D2<Dc<D3<D4

Connaissant les taux T1 à T4 correspondant aux dates D1 à D4, le taux T de Dc est calculé en utilisant l’équation :

T=a* Dc³ + b* Dc² + c* Dc+d

Où a, b, c et d sont déterminés par le système :

T1=a* D1³ + b* D1² + c* D1+d

T2=a* D2³ + b* D2² + c* D2+d

T3=a* D3³ + b* D3² + c* D3+d

T4=a* D4³ + b* D4² + c* D4+d

La résolution de ce système de quatre équations à quatre inconnues est :

Code de la fonction InterpolationCubique

Les fonctions de calculs matriciels disponibles dans les feuilles de calcul n’ont pas d’équivalent en VBA. Il est possible d’y accéder en utilisant la propriété WorksheetFunction de l’objet...

Arguments

Code de la fonction

Function Interpolation(TableauMaturites, TableauDonnees, 
DateCalculees, _ 
                   Optional TypeInterpolation As Boolean = False, _ 
                     Optional TypeDonnees As Boolean = False, Optional _ 
          ...

Objectif

Pour pouvoir déterminer la valeur d’un instrument, il faut sommer la valeur actuelle de chacun de ses flux. Vous devez construire une courbe permettant de déterminer pour chaque date future le facteur d’actualisation. Pour construire cette courbe vous allez utiliser un panier d’instruments de marché. Sur la partie inférieure à 1 an, vous utiliserez des instruments monétaires. Ces produits paient un coupon à leur date de maturité. Puis, vous utiliserez le taux des contrats Futures de type euribor. Ces contrats sont cotés sous la forme 100-taux. Enfin, sur la partie longue, vous utiliserez le taux de rendement des obligations à taux fixe à paiement annuel, ou des taux de swap.

Arguments

Mode de calcul

La transformation des taux monétaires ("MM") en facteur d’actualisation est directe. La valeur future d’un investissement initial V₀ au taux r à la date t₁ est :

Vous pouvez déterminer la valeur actuelle, V₀, d’un montant V₁ à la date t₁ par :

Le facteur d’actualisation de la période t₀ à t₁ est donc :

L’utilisation des contrats Futures ("FUT") ou contrats à terme est plus délicate. Un contrat à terme nous indique le taux qui aura cours pour la période allant de t₁ à t₂. Sous l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage, un investissement de t₀ à t₁ au taux r_0,1, puis le réinvestissement du montant perçu en t₁ jusqu’en t₂ au taux r_1,2 est équivalent à un investissement au taux r_0,2 sur la période...

Objectif

Cette fonction calcule un taux forward à partir d’une courbe de facteurs d’actualisation. Elle nous permettra de déterminer les flux d’un instrument à taux variable.

Arguments

Mode de calcul

En reprenant la formule générale de la fonction CourbeActualisation pour le cas des instruments "PAR" à paiement annuel :

Si la date de départ t₀, est forward, alors la valeur actuelle de l’instrument n’est pas 100, mais la valeur actualisée de 100 :

Le taux C de l’instrument forward est donc :

Dans le cas où l’instrument a plusieurs paiements par an, la formule devient :

Pour ramener ce taux dans les conventions souhaitées, vous utiliserez la fonction ChangeTaux. 

Code...