Outils statistiques de prévisions

Principe

La régression est probablement l’outil statistique le plus utilisé pour établir des prévisions. Le but de la régression est d’estimer la relation qu’il existe entre deux ou plusieurs variables.

Si le modèle a une seule variable explicative, il s’agit d’une régression linéaire simple. Dans le cas où le modèle à plusieurs variables explicatives, nous parlerons d’une régression linéaire multiple.

Il est possible de faire des régressions linéaires avec des variables numériques ou catégorielles.

Enfin, toutes les régressions ne sont pas linéaires, selon la relation qu’il existe entre les données, il pourra s’agir de régressions non linéaires.

Cette méthode doit son nom à Francis Galton, mathématicien, statisticien et sociologue anglais qui fut un des premiers à l’utiliser, notamment pour tenter de prédire, en 1888, la taille d’un enfant à l’âge adulte en fonction de la taille de ses parents.

Francis Galton 1822 - 1911

Aujourd’hui, la régression linéaire est utilisée dans toute sorte de domaines : prévisions commerciales, finances d’entreprise, finances de marché, dans le domaine de la santé, dans les études économiques, sociologiques... En outre, il s’agit de l’un des algorithmes les plus utilisés en data sciences/machine learning.

Cet exemple est un graphique en nuage de points représentant sur l’axe des abscisses, la taille en centimètres d’individus et sur l’axe des ordonnées leur poids en kilo.

Même s’il existe des personnes plus lourdes ou plus légères que la moyenne, il est probable qu’il y ait une relation entre le poids et la taille des individus.

Si nous tentons de tracer une droite représentant la tendance de ce graphique, plusieurs points seront en dessous de cette droite, d’autres seront au-dessus et quelques points seulement se retrouveront sur la droite.

La meilleure droite de régression possible, celle qui capturera au mieux la tendance de nos données...

Première étape : représentation graphique des données

Nous allons représenter nos données avec un graphique en nuage de points.

A priori, visuellement, il existerait bien une corrélation positive entre le chiffre d’affaires et les dépenses mensuelles en publicité.

Toujours d’après la forme du nuage de points, il semblerait que la relation entre les deux variables pourrait être approximée par une régression linéaire.

Deuxième étape : calcul des éléments de la régression

Concept

La régression linéaire multiple utilise les mêmes principes que la régression linéaire simple, mis à part que, dans ce cas, on utilisera deux ou plusieurs variables explicatives.

L’équation d’une régression linéaire multiple peut être écrite :

y = a1x1 + a2x2..... a_nx_n + b

où

y est la variable dépendante, aussi appelée variable expliquée. Il s’agit de la variable dont le modèle va tenter d’expliquer le mieux possible la variabilité.

x1,x2,x_n sont les variables indépendantes, aussi appelées prédicteurs ou variables explicatives. Il s’agit des données qui vont servir au modèle pour tenter d’expliquer la variabilité de y.

a1,a2,a_n sont les coefficients directeurs associés à chacune des différentes variables indépendantes. 

b est l’ordonnée à l’origine de la droite.

Contrairement au nuage de points en deux dimensions qui représente graphiquement la mesure de deux variables liées, il n’est pas aisé de faire une représentation graphique d’une régression multiple.

Dans le cas où il y a deux variables indépendantes, il est toutefois possible de créer un nuage de points en trois dimensions :

Au-delà...

Concept

Une variable catégorielle aussi appelée variable qualitative, est tout simplement une variable sur laquelle il n’est pas possible de faire un calcul. Cela peut être par exemple :

Contrairement aux variables numériques, pour faire une régression linéaire avec des variables catégorielles, il va falloir utiliser une technique spéciale : la technique de la variable muette (dummy variable).

Comme il n’est pas possible de faire des calculs avec des variables catégorielles, nous allons utiliser un code qui ressemble au code binaire

Dans la colonne Homme, nous avons attribué la valeur 1 à la ligne Bob pour signifier qu’il s’agit d’un homme et dans la colonne femme, nous avons attribué la valeur 1 à la ligne Elena pour signifier qu’il s’agit d’une femme.

Il est possible de simplifier le tableau précédent de la manière suivante :

Elena a la valeur 1 dans la colonne Femme, et Bob a la valeur 0, signifiant qu’il ne s’agit pas d’une femme (et donc c’est forcément un homme).

Le principe est le même avec quatre variables catégorielles.

Dans cet exemple, Elena habite dans la région Nord et Bob n’habite pas dans la région Est ni dans la région Ouest ni dans la région Nord. Il habite donc forcément dans la région Sud.

Application avec Excel

Un magasin de jouets investit régulièrement dans des campagnes de publicité internet et papier. Récemment, le magasin a particulièrement centré ses campagnes publicitaires sur deux modèles de jouet.

Le directeur du magasin souhaiterait déterminer lequel des deux médias est le plus susceptible d’améliorer son chiffre d’affaires pour chacun des deux modèles de jouet. Il souhaiterait en outre estimer quel serait son chiffre...

Principe

La méthode des moyennes mobiles est une méthode de lissage basée sur l’idée de faire des prévisions d’après la moyenne des valeurs observées des dernières périodes.

Puisque cette méthode part du principe que les observations futures vont être similaires aux dernières observations, les moyennes mobiles sont plutôt utilisées pour faire des prédictions à court terme.

Cette méthode consiste à faire une prévision à partir de la moyenne des N dernières observations.

Exemple :

Si N est égal à 3, nous allons faire la moyenne des 3 premières valeurs pour faire une prédiction de la quatrième valeur.

Intérêt

La méthode des moyennes mobiles et les méthodes de lissage en général peuvent aider à distinguer les mouvements dus au hasard des changements fondamentaux de la tendance dans une série chronologique. Il sera ainsi possible d’une part de déterminer si la tendance de la série chronologique augmente, diminue ou reste au même niveau et d’autre part, de se servir de cette tendance pour réaliser des prévisions.

Exemple :

Il a fait exceptionnellement froid durant le mois de janvier, de ce fait, les clients ont été moins enclins à sortir pour réaliser des achats. Le temps s’est amélioré par la suite, les clients ayant reporté leurs achats en janvier, les ont réalisés au cours de février et mars.

En effectuant une moyenne des observations des mois de janvier, février et mars, il est possible d’avoir une meilleure idée de la tendance générale des ventes pour réaliser une prévision du niveau des ventes durant le mois d’avril.

Plus la période prise en compte dans le calcul des moyennes mobiles sera élevée, plus la prévision sera dépendante d’observations anciennes. Le modèle...

Principe

Dans certains cas, et selon l’activité de l’entreprise, il est souhaitable d’avoir un modèle prédictif dans lequel les dernières observations réelles ont plus d’importance dans la détermination des prévisions que les valeurs plus anciennes. Dans la méthode des moyennes mobiles pondérées, un coefficient ou un pourcentage est affecté à chaque observation. 

Application avec Excel 

Vous retrouverez les données de cet exemple dans l’onglet MMP_donnees du fichier moyenne mobile.xlsx. Sa résolution se trouve dans l’onglet MMP_resultat.

Dans notre magasin de jouets, le comptable propose de réaliser une prévision selon la méthode des moyennes mobiles pondérées en utilisant un nombre N=2.

Il propose d’affecter un pourcentage de 40 % à l’observation la plus ancienne et un pourcentage de 60 % à l’observation la plus récente pour chaque moyenne mobile.

Le résultat est le suivant :

Et donc d’après ce modèle, pour la semaine 18, la prévision serait de 175 ordinateurs vendus.

Évaluation...

Principe

L’idée derrière le lissage exponentiel est d’utiliser la dernière valeur connue corrigée de la différence entre cette dernière valeur et la dernière prévision.

Le lissage exponentiel est en quelque sorte un modèle qui s’autocorrige.

L’invention du lissage exponentiel est attribuée au mathématicien Siméon Denis Poisson, connu notamment pour la loi de Poisson (théorie des probabilités).

Exemple :

Les ventes réelles du mois de juin sont de 258 094 €.

La prévision réalisée concernant les ventes du mois de juin était de 259 913 €.

Application avec Excel

Vous...

Les coefficients saisonniers

Un coefficient saisonnier est le rapport d’une saison (ou de la moyenne d’une saison spécifique sur plusieurs années) par rapport à la moyenne d’une série.

Exemple

L’intérêt de ce calcul est double :

Exemple et application avec Excel

Imaginons que les entrées d’un parc zoologique se répartissent de la manière suivante entre 2017 et 2023 :...

La fonction PREVISION.ETS

La fonction PREVISION.ETS est basée sur un algorithme d’apprentissage de haut niveau et très efficace en matière de prévisions : le lissage exponentiel triple ou Exponential Triple Smoothing.

Cette méthode est aussi connue sous le nom de Holt - Winters, du nom des deux professeurs du MIT qui ont mis au point cet algorithme à partir de la méthode du lissage exponentiel.

Même si la démonstration mathématique du lissage exponentiel triple dépasse le cadre de cet ouvrage, dans le principe cette fonction estime à la fois :

Application

À partir des données de l’onglet donnee_ETS du fichier nouv_fonc_prev.xlsx, nous allons effectuer une prévision du chiffre d’affaires pour les 15 prochains mois.

(8 premières lignes des données de l’onglet donnee_ETS)

La résolution de cet exemple se trouve dans l’onglet ETS.resolu du fichier nouv_fonc_prev.xlsx.