Calcul infinitésimal et intégration numérique

1. Principe du calcul

Le plan étant muni d’un repère orthonormal, soit f une fonction représentée par un arc de courbe continu sur un intervalle [a;b]. Les coordonnées de A sont a et f(a), celles de B sont b et f(b).

Pour calculer la longueur de l’arc de façon approchée, on peut placer n points A₂, A₃, …, A_n sur cet arc entre A et B. On assimile alors la longueur de l’arc AB à la somme des longueurs des segments A A₂, A₂ A₃, …, A_nB.

Sur cette figure par exemple, la longueur de l’arc est remplacée par la somme AA₂+A₂A₃+A₃A₄+A₄ A₅+A₅A₆+A₆B.

2. Un programme de calcul

Soit a l’abscisse de A et b celle de B. Partageons l’intervalle [a;b] en n parties égales et posons . Désignons par x₁ l’abscisse du point de subdivision A_i et par x₂ celle de A_i+1. On a alors x₁=a+id et x₂=x₁+d pour 0 ≤ i ≤ n.

La somme des longueurs des segments de droite est égale à . Calculons par exemple la longueur L de l’arc de la parabole y=x² ayant pour extrémités les points d’abscisses a=0 et b=5.

# Calcul de la longueur d'un arc de parabole 
from math import* 
def f(x): 
    return x*x 
a=eval(input("Valeur de l'abscisse du point A ?")) 
b=eval(input("Valeur de l'abscisse du point B ?")) 
n=eval(input("Valeur...

1. Historique

Un problème qui figure sur un papyrus rédigé par des scribes égyptiens nous explique la démarche qu’il faut suivre pour calculer l’aire d’un disque de diamètre 9 (l’unité n’est pas précisée). Voici cette méthode :

En fait, le scribe remplace le calcul de l’aire d’un disque de diamètre d par celle d’un carré de côté . Cela revient à calculer l’aire d’un disque de rayon R avec la formule et à prendre π ≈ 3,16.

2. Méthode d’Archimède

C’est dans un traité d’Archimède (287-212 avant J.-C.) intitulé La mesure du cercle qu’on trouve exposée la méthode qui lui a permis de calculer la longueur d’un cercle.

Statue d’Archimède

Le savant grec a utilisé les deux résultats suivants comme point de départ :

La figure qui suit illustre ces deux propositions dans le cas de deux dodécagones réguliers, l’un circonscrit au cercle, l’autre inscrit dans ce même cercle.

Avec des polygones réguliers de 96 côtés, il a obtenu , ce qui constitue un excellent encadrement de la longueur...

1. Principe du calcul

Au III^e siècle avant J.-C., Archimède a réussi à calculer des aires et des volumes à l’aide de sa « méthode d’exhaustion ». Cette méthode consistait à remplacer le volume ou l’aire à évaluer par un très grand nombre de volumes ou d’aires plus simples, des rectangles, des prismes, des cylindres par exemple.

Avec la naissance du calcul infinitésimal, les mathématiciens du XVII^e siècle ont repris cette idée et l’ont appliquée à de nombreux cas, celui d’une boule par exemple.

2. Le calcul

En pratique, on peut se contenter d’effectuer les calculs pour une demi-boule seulement.

1. Le schéma qui suit montre comment on peut empiler des cylindres, 5 dans le cas de la figure, pour obtenir une valeur approchée par défaut du volume d’une demi-boule de rayon r et de centre O.

D’une façon générale, on partage le rayon [OS] en n parties égales. Chaque cylindre a une hauteur . Il y a n-1 cylindres dont les rayons r_i sont donnés, d’après le théorème de Pythagore, par la formule . Dans cette formule, l’indice i varie de 1 à n-1.

Les volumes V_i des cylindres sont donnés par la formule pour i variant de 1 à n-1.

2. Le second schéma montre comment on peut empiler des cylindres, 6 dans le cas de la figure, pour obtenir une valeur approchée par excès du volume de la même demi-boule.

1. Historique

L’origine de l’intégration se trouve dans les problèmes que se posaient les Grecs qui voulaient calculer des aires et des volumes. Au IV^e siècle avant J.-C., Eudoxe a réussi à calculer le volume du cône et celui de la pyramide. Un siècle plus tard, Archimède a calculé le volume de la sphère ainsi que son aire. Il a réussi également à calculer l’aire du « segment » de parabole, délimité par cette courbe et une de ses cordes. Tous ces problèmes géométriques ont été repris et développés au cours des siècles, d’abord par les mathématiciens arabes puis par les mathématiciens européens. Le calcul intégral est créé au XVII^e siècle par les deux immenses mathématiciens que sont Leibniz (1646-1716) et Newton (1642-1727).

Pour désigner une intégrale, Leibniz utilise d’abord l’abréviation omn. (en latin, omnes signifie « tout ») puis utilise ensuite un S, initiale du mot « somme ». Finalement, il propose le signe ʃ. On doit à Jean Bernoulli (1667-1748) le mot « intégrale » et à Joseph Fourier (1768-1830) la notation . Si on connaît une primitive d’une fonction f intégrable sur un intervalle...

1. Rappel

Considérons encore une fois une fonction numérique f définie et continûment dérivable sur un intervalle [a;b]. Choisissons un repère orthonormal et représentons graphiquement cette fonction sur cet intervalle. Soit S l’aire de la surface limitée par la courbe représentative de f, par l’axe des x et par les droites ∆₁ et ∆₂.

Comme l’intégrale mesure la surface coloriée en gris sur cette figure, on a I=S.

2. Principe de la méthode des trapèzes

Comme le montre la figure suivante, on peut obtenir une valeur approchée de S en remplaçant la surface à mesurer par celle de n trapèzes de même hauteur. Un examen rapide de la figure permet de voir qu’on pourra espérer une meilleure précision qu’avec la méthode des rectangles.

Les trapèzes ont tous pour hauteur et pour bases respectives f(x_i) et f(x_i+1) avec 1 ≤ i ≤ n. On a donc . Si f est deux fois dérivable sur [a;b] et s’il existe un nombre positif M tel que , on démontre que .

3. Programme pour calculer l’intégrale d’une fonction continue

Dans le programme ci-dessous, nous avons encore défini f par la relation f(x)=3^xe^x pour permettre la comparaison avec la méthode des rectangles. Comme précédemment, dans le cas d’une autre fonction, l’utilisateur du programme devra en donner la définition à la ligne 3 du programme.

# Intégration par la méthode...

1. Historique

Le mathématicien anglais Thomas Simpson (1710-1761) s’est initié seul aux mathématiques supérieures de son époque en étudiant le calcul infinitésimal du marquis de l’Hospital (1661-1704) et les œuvres de Newton (1642-1727). Il a publié un traité de calcul infinitésimal intitulé Nouveau traité des fluxions et, dans le domaine de la statistique et du calcul des probabilités, un Traité sur la nature et les lois de la probabilité.

2. Méthode de Simpson¹³

En 1743, Simpson a montré que, pour toute fonction f continue et dérivable au moins deux fois sur un intervalle [α; β], est une valeur approchée de l’intégrale . Si x_M et x_M’ sont les abscisses respectives des points M et M’ de la courbe qui représente la fonction f, la méthode consiste en fait à remplacer l’arc MM’ par un arc de parabole. En appliquant la formule de Simpson à chacun des intervalles qui résulte de la subdivision d’un intervalle [a;b] en 2n parties égales, on obtient une valeur approchée de . Le programme qui utilise cette méthode est le suivant :

# Intégration par la méthode de Simpson 
from math import* 
def f(x): 
    return (3**x)*exp(x) 
a=eval(input("Valeur de a ?")) 
b=eval(input("Valeur de b ?")) 
n=eval(input("Valeur de l'entier n ?")) 
long=(b-a)/2/n 
s=0 
for i in range(1,2*n,2): ...

1. Historique

Surnommé « le prince des mathématiciens », Gauss est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Astronome et physicien aussi bien que mathématicien, il a dirigé l’observatoire de Göttingen mais ne travailla guère comme professeur de mathématiques, car il n’aimait pas enseigner !

Billet de banque allemand à l’effigie de Carl Friedrich Gauss

2. Principe de la méthode de Gauss

Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à 11. Gauss a démontré qu’il existe 6 valeurs x₁, x₂,…, x₅, x₆ et 6 nombres k₁, k₂, …, k₅, k₆ tels que . Les valeurs des x_i et des k_i sont les suivantes :

3. Un programme de calcul

Le programme qui suit utilise la méthode de Gauss pour calculer l’intégrale sur un intervalle [a;b] d’une fonction f continue sur cet intervalle.

# Intégration par la méthode de Gauss 
from math import* 
def f(x): 
    return (3**x)*exp(x) 
a=eval(input("Valeur de a ?")) 
b=eval(input("Valeur de b ?")) 
x1,x2,x3=-0.932469514,-0.661209386,-0.238619186 
listedesx=[x1,x2,x3,-x3,-x2,-x1] 
k1,k2,k3=0.171324492,0.360761573,0.467913915 
listedesk=[k1,k2,k3,k3,k2,k1] 
s=0 
for j in range(0,6): 
    x=(a+b)/2+listedesx[j]*(b-a)/2 ...