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Extrait - Python Introduction au calcul numérique
Extraits du livre
Python Introduction au calcul numérique
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Nombres complexes

Les nombres complexes dans Python

Les nombres complexes ont été inventés au XVIe siècle, en Italie. Malgré quelques différences, on peut faire avec eux à peu près les mêmes calculs qu’avec les nombres réels. C’est pourquoi Python possède un module particulier, le module « cmath », dédié à ces nombres.

1. Historique

Après l’invention de l’algèbre, les mathématiciens arabo-musulmans ont essayé de résoudre les équations du troisième degré mais n’y sont pas parvenus. Les mathématiciens italiens de la Renaissance ont essayé à leur tour au XVIe siècle. Après les avoir plus ou moins empruntées à Nicolas Tartaglia (1500-1557), Jérôme Cardan (1501-1576) publie en 1545 des formules qui permettent de résoudre les équations de la forme x3 = px q avec p et q entiers positifs. Il montre que cette équation a une solution réelle si 27q2-4p30. Cette solution est alors donnée par la formule images/07eq01.PNG.
images/RI60.png

Autoportrait de Jérôme Cardan (1501-1576)

Vers 1560, Raphaël Bombelli (1526-1573) commence à étudier l’équation x3=15x+4. Cette équation a comme solution évidente x=4 mais la formule de Cardan ne peut pas la donner puisque le nombre 27×42-4×153 est négatif. Mais Bombelli décide de l’utiliser tout de même, ce qui fait apparaître des racines carrées de nombres négatifs. Menant ses calculs comme avec les nombres usuels, Bombelli applique la formule de Cardan et obtient images/07eq02.PNG soit images/07eq03.PNG. Il appelle piu di meno le « nombre » images/07eq04.PNG dont le carré vaut -1 et constate que images/07eq04a.PNG et images/07eq04b.PNG. Il en résulte que images/07eq05.PNG, ce qui est bien la solution recherchée. Bombelli...

Résolution dans C des équations du second degré

Le théorème fondamental de l’algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine. Dans le cas d’une équation du second degré, il y a toujours deux solutions dans C, que ses coefficients soient réels ou non.

1. Cas d’une équation à coefficients réels

Soit ax2+bx+c=0 une équation du second degré dont les coefficients a, b et c sont des nombres réels, avec a  0. Cette équation a toujours 2 solutions dans C même quand son discriminant =b2-4ac est négatif car elle admet alors pour solutions les nombres complexes images/07eq16.PNG et images/07eq17.PNG.

Pour résoudre une telle équation, on peut utiliser le programme suivant (comme le fait Python, nous avons désigné par j au lieu de i le nombre complexe dont le carré vaut -1.) :

# Résolution dans C d'une équation du second degré 
# à coefficients réels 
from math import* 
# Coefficients de l'équation 
a=eval(input("Quelle est la valeur de a ? ")) 
b=eval(input("Quelle est la valeur de b ? ")) 
c=eval(input("Quelle est la valeur de c ? "))  
# Calcul du discriminant 
delta=b*b-4*a*c 
print("delta=", delta) 
# Résultat si delta>0 
if delta>0: 
    x1=(-b+sqrt(delta))/2/a 
    x2=(-b-sqrt(delta))/2/a 
    print("1ère solution=", x1) 
    print("2ème solution=", x2)  
# Résultat si delta=0 
if delta==0: 
    x=-b/2/a 
    print("Une solution double x=",x) 
# Résultat si delta...

Les suites de nombres complexes

On étend aux suites à valeurs dans C toutes les propriétés des suites de nombres réels, sauf celles qui font référence à l’ordre puisque, contrairement à R, il n’existe pas de relation d’ordre sur C.

Comme chaque terme d’une suite (zn) est l’affixe d’un point Mn du plan complexe, les points Mn peuvent être représentés graphiquement grâce à leurs coordonnées.

1. Suites récurrentes

On peut utiliser Python pour calculer les n premières valeurs d’une suite récurrente (zn). Le terme général de cette suite peut être exprimé sous forme algébrique, sous forme trigonométrique ou bien sous forme exponentielle.

Pour les propriétés où la distance intervient, la valeur absolue est remplacée par le module, qui se note de la même façon. Par exemple, une suite (zn) est bornée si, pour tout entier naturel n, il existe un réel M positif tel que images/07eq17a.PNG. Naturellement, l’emploi de Python ne peut constituer une démonstration des propriétés observées, mais il permet de conjecturer certaines de ces propriétés.

2. Partie réelle et partie imaginaire d’une suite complexe

Soit (zn) une suite de nombres complexes. Chaque terme de cette suite peut s’écrire sous la forme algébrique zn=an+ibn. Les nombres réels an et bn sont donc les termes de deux suites. La suite (an) est la partie réelle de la suite (zn) tandis que la suite (bn) en est la partie imaginaire. Les suites (an) et (bn) sont souvent notées Re(zn) et Im(zn).

3. Convergence d’une suite

On dit qu’une suite (zn) de nombres complexes converge vers l ou a pour limite le nombre complexe l s’il existe un nombre images/07eq18.PNG qui possède la propriété...

Aperçu sur les fonctions d’une variable complexe

Soit z=x+iy un nombre complexe quelconque choisi dans C tout entier ou dans un sous-ensemble de C. On définit une fonction de C dans C en associant un nombre complexe z’=x’+iy’ à z. Comme les nombres z et z’ sont les affixes des points M(x;y) et M’(x’;y’), on définit du même coup une transformation plane φ du plan complexe dans lui-même en posant M’=φ(M).

1. Fonctions nouvellles

On peut définir de très nombreuses fonctions de C dans C. Par exemple, z2z, z-3z2, zimages/07eq39.PNG, zimages/07eq40.PNG, etc. Si f est une fonction telle que z’=f(z), le nombre z’ peut s’écrire z’=g(z)+ih(z), g(z) et h(z) étant des nombres réels. On peut étudier algébriquement et analytiquement les propriétés de la fonction f mais on ne peut pas la représenter graphiquement14 puisqu’elle dépend de deux variable réelles. On peut aussi étudier les propriétés de la fonction associée φ qui envoie le point M(z) sur le point M’(z’). En choisissant f convenablement, on peut facilement retrouver quelques transformations planes classiques15 comme les translations, les rotations, les homothéties, les similitudes, etc.

2. La fonction z z+a

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct images/07eq30.PNG. Soit A(xA;yA) un point quelconque du plan complexe et soit M, N et P trois autres points dont les affixes respectifs sont m, n et p. Le programme qui suit permet de choisir ces points et de calculer les affixes m’, n’ et p’ de leurs images M’, N’ et P’ par la fonction zz+a.
# Fonction zz+a 
from math import* 
xA=eval(input("Valeur de xA ? ")) 
yA=eval(input("Valeur de yA ? ")) 
xM=eval(input("Valeur...