Suites de nombres réels

1. La méthode d’Archytas de Tarente

Archytas de Tarente (vers 435 av. J.-C. ; 347 av. J.-C) était un disciple de Pythagore. Ses travaux ont concerné la notion de moyenne. Étant donnés deux nombres a et b, leur moyenne arithmétique m est égale à , leur moyenne géométrique g est définie par g² = ab et leur moyenne harmonique h est définie par . On démontre que h<g<m. Archytas de Tarente a utilisé cette relation pour calculer des racines carrées.

Par exemple, pour trouver une valeur approchée de , il commence par écrire puis, comme le montre le tableau suivant, il déroule ses calculs :

Étape n°	x	y	Moyenne arithmétique de x et de y	Moyenne harmonique de x et de y
1	2
2
3

Avec les notations actuelles, on peut écrire et . Le nombre est connu avec une erreur qui porte sur la 9^e décimale seulement. On peut généraliser la méthode d’Archytas de Tarente à un nombre réel positif A quelconque en utilisant le programme qui suit :

# Calcul d'une racine carrée avec la méthode d'Archytas de Tarente 
A=eval(input("Valeur de A : ")) 
x,y=2,A/2 
for i in range(1,6): 
    m=(x+y)/2 
    h=x*y/m 
    print("x=",x," et y=",y) 
    x,y=m,h 

On a choisi de faire le calcul en cinq étapes car l’algorithme est très performant. ...

1. Définition

Une suite numérique est une liste de nombres qui sont tous numérotés et rangés dans l’ordre des numéros croissant. En général, on choisit 0 comme rang du premier terme d’une suite (u_n). Il semble qu’on doive à Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) la notation indicielle.

2. Suites définies par u_n=f(n)

On peut définir le terme général d’une suite en faisant appel à une fonction numérique de la variable entière n. Considérons par exemple la suite (u_n) définie par son terme général pour n≥ 0. Le calcul donne u₀= -1, , u₂=1, et ainsi de suite. Pour établir la liste des dix premiers termes de la suite par exemple, on peut utiliser un programme écrit avec Python :

from math import* 
def f(n): 
    return (2*n-1)/(n+1) 
n=eval(input("Choisissez n :")) 
for i in range(1,n+1): 
    print("terme de rang ",i,"=",f(i)) 

En modifiant ce programme, on peut calculer directement un terme de la suite, le 10 000^e par exemple. On obtient u_n=1.9997000299970003.

from math import* 
def f(n): 
    return (2*n-1)/(n+1) 
n=eval(input("Choisissez n :")) 
print("Le terme de rang ", n," est ",f(n)) 

3. Suites récurrentes

Une suite récurrente (u_n) du 1^er ordre est définie par le choix de son premier terme u1 et par la donnée...

1. Une suite peut être convergente

Dans l’Encyclopédie de d’Alembert et Diderot publiée au XVIII^e siècle, on peut lire la définition suivante :

« Suite : se dit d’un ordre ou d’une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s’approchant de plus en plus de quelque quantité finie […] on l’appelle suite convergente et si on la continue à l’infini, elle devient égale à cette quantité. »

Cependant, la notion de limite d’une suite n’a été établie rigoureusement qu’au XIX^e siècle par Louis Augustin Cauchy (1789-1857).

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Exemple 1

Soit (u_n) la suite définie par pour n≥ 0. Le programme qui suit permet de calculer u₁₀₀₀, u₁₀₀₀₀ ou même u₁₀₀₀₀₀ si on le veut.

n=eval(input("Valeur de n ?")) 
u=(2*n-1)/(n+1) 
print(" pour n=",n,"u=",u) 

On obtient respectivement 1.997002997002997, 1.9997000299970003 et 1.999970000299997, ce qui permet de conjecturer que la suite converge vers 2. On peut le démontrer facilement car . Cette expression tend vers 2 quand n devient infiniment grand.

Exemple 2

Considérons la suite (u_n) définie par son terme général pour n≥ 1. Le programme suivant permet de calculer les 10 premiers termes de la suite.

from math import* 
n=10 
for i in range(1,n+1): ...

1. Historique

Léonard de Pise (1180-1250), plus connu sous le nom de Fibonacci, c’est-à-dire « le fils de Bonacci », est né à Pise, en Italie. En 1202, il a publié le Liber abaci ou livre de l’abaque. Après avoir présenté les chiffres arabes et le système d’écriture décimale positionnelle des entiers utilisés par les mathématiciens arabes, il étudie diverses questions mathématiques : la technique des quatre opérations, le calcul fractionnaire, les calculs commerciaux, les problèmes de change ou de partage, la conversion des monnaies, le calcul des intérêts, etc. On y trouve aussi des problèmes de fausse position, simple ou double, et des problèmes d’arithmétique qui portent sur les nombres parfaits et les nombres premiers. 

Dans les deux derniers chapitres sont traitées des questions liées à l’emploi des racines carrées et cubiques ainsi qu’à l’emploi des équations du premier et du second degré, à la manière d’al-Khwarizmi.

2. Le problème des lapins

Le Liber abaci est aussi un recueil de « petits » problèmes dont le plus célèbre est incontestablement celui des lapins :

« Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l’année si, commençant l’année avec un couple unique de jeunes lapins...

1. Historique

Les premiers travaux sur les séries sont très anciens. Pour calculer la somme 1+2+3+... + n, les mathématiciens chinois du III^e siècle après J.-C. utilisaient la figure de l’escalier.

La figure suivante montre le calcul de S=1+2+3+ ..... +10 avec cette méthode.

L’escalier contient dix marches. Sur la figure, on voit que l’aire de « l’escalier », qui représente la somme 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10, est égale à . D’une façon générale, avec n marches, on obtient . Le calcul de la somme des n premiers entiers naturels fait l’objet d’une légende qui concerne le grand mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Jeune écolier, il aurait réussi à calculer la somme des entiers de 1 à 100 en quelques instants de la façon suivante : après avoir observé que 1+100=2+99=3+98= ......=50+51, il aurait annoncé une somme de 5050 en multipliant 101 par 50. L’anecdote est certainement fausse mais la méthode de calcul est parfaitement exacte et s’applique à n’importe quel entier n.

Le programme qui suit calcule la somme S=1+2+3+... n.

# Somme des entiers de 1 à n 
n=eval(input("Choisissez l'entier n : ")) 
S=0 
for i in range(1,n+1): 
    S=S+i ...