Dérivation numérique et équations différentielles

1. Historique

Au XVII^e siècle, Fermat (1601-1665) met au point une méthode pour trouver le maximum ou le minimum d’une fonction. Il montre que l’existence d’un extremum implique l’annulation de ce qu’on appellera plus tard la dérivée de la fonction étudiée, mais celle-ci n’apparaît véritablement qu’avec le calcul infinitésimal, dont la paternité est attribuée conjointement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1646-1716). Newton nomme fluxion ce que nous appelons un nombre dérivé et le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

Au XVIII^e siècle, Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) définit un nombre dérivé en utilisant explicitement la notion de taux d’accroissement. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) crée la notation f ’(x) pour désigner le nombre dérivé de la fonction f en x et propose d’appeler « dérivée de f » la fonction f ’.

Au XIX^e siècle, Karl Weiertstrass (1815-1897) définit rigoureusement la dérivée d’une fonction numérique comme nous le faisons encore aujourd’hui, en utilisant le concept de limite créé par Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).

Karl Weiertstrass (1815-1897)

2. Dérivées à droite et dérivées à gauche

1. Administration par un polynôme

Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle ouvert I. Cherchons un polynôme P tel que P(x₀)=f(x₀), P’(x₀)=f ’(x₀) et, pour cela, posons P(x)=a+b(x-x₀).

En faisant x=x₀ dans l’expression de P, on obtient P(x₀)=a d’où a=f(x₀). En dérivant le polynôme P, on peut écrire P’(x)=b puis, en faisant x=x₀ dans cette égalité, on obtient b=P’(x₀) d’où b=f ’(x₀). On a donc finalement P(x) = f(x₀) + f ’(x₀)(x- x₀). On démontre qu’au voisinage de x₀, f(x) ≈f(x₀) + f ’(x₀)(x - x₀).

En fait, remplacer localement la fonction f par le polynôme P au voisinage de x₀, revient à remplacer un petit arc de la courbe représentative de f par un petit segment de droite porté par la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x₀. Le polynôme P est appelé développement de f(x) en série de Taylor⁶ au voisinage de x₀ et à l’ordre 1.

Brook Taylor (1685-1731)

2. Calcul d’une valeur approchée de f ’(x)

1. Historique

La première apparition des équations différentielles remonterait à l’année 1638 quand Florimond de Beaune (1601-1652), un mathématicien ami de René Descartes (1596-1650), proposa deux problèmes géométriques sur la construction d’une courbe connaissant une propriété de ses tangentes. Exprimé dans la langue d’aujourd’hui, le premier de ces deux problèmes est le suivant :

Soit C une courbe d’équation y=f(x) qui admet une tangente en chacun de ses points. Soit P[x;y)] un point quelconque de cette courbe et soit T la tangente en P à la courbe. T rencontre l’axe des x en A. La perpendiculaire à l’axe des x menée par P rencontre cet axe en H. Quel que soit P, la longueur du segment [AH] doit être constante. Construire la courbe C.

Résolvons ce problème avec les moyens d’aujourd’hui en choisissant un repère orthonormal. L’équation réduite de la tangente T est Y=f ’(x)(X-x)+f(x), relation dans laquelle f ’(x) représente la dérivée de f.

1. Principe de la méthode d’Euler

Soit x₀ϵI. Si la condition initiale y0=y(x₀) est connue, on démontre que l’équation différentielle y’=F(x,y) admet généralement une solution unique⁸.

Posons I=[a;b] et choisissons un nombre x dans cet intervalle. Pour calculer y(x) de manière approchée par la méthode d’Euler, divisons l’intervalle [x₀;x] en n parties égales et posons d’où x_i = x₀ + ih pour 0 ≤i≤n.

L’idée sur laquelle repose la méthode d’Euler consiste à remplacer localement, c’est-à-dire sur un « petit » intervalle, la courbe qui représente la fonction y par sa tangente. En effet, si x_i+1 - x_i est suffisamment petit, on peut considérer que est une valeur approchée de y’(x_i). On peut alors écrire y(x_i+1) = y(x_i) + y’(x_i)(x_i+1 - x_i) soit y(x_i+1) = y(x_i) + hy’(x_i) pour 0 ≤ i ≤ n.

Compte tenu de l’équation de départ, cette relation peut s’écrire y(x_i+1) = y(x_i) + h F(x_i, y(x_i)). Si on convient d’écrire y_i au lieu de y(x_i), l’égalité précédente s’écrit y_i+1 = y_i+ hy’ _i pour...

1. Historique

Cette méthode de résolution approchée d’une équation différentielle a été proposée en 1901 par les deux mathématiciens allemands Carl Runge (1856-1927) et Martin Wilhem Kutta (1867-1944).

Carl Runge (1856-1927)

Martin W. Kutta (1867-1944)

2. Cas d’une équation différentielle du premier ordre

Comme dans le cas de la méthode proposée par Euler, il s’agit de construire une suite récurrence y’(i) qui approchera la solution cherchée y(x).

Posons I=[a;b]. x₀ étant un nombre de cet intervalle, supposons connue la condition initiale y₀=y(x₀). Dans ces conditions, l’équation différentielle y’=F(x,y) admet en général une solution unique. Choisissons un nombre x dans l’intervalle [a;b] et proposons-nous de calculer y(x) de manière approchée. Pour cela, on divise l’intervalle [x₀;x] en n parties égales et on pose d’où x_i = x₀ + ih pour 0 ≤ i≤ n.

On détermine ensuite, pour 0 ≤ i ≤ n - 1, une suite (y_i) à l’aide de la relation . Les nombres k₁, k₂, k₃ et k₄ sont donnés par les formules , , et k₄ = h f(x_i+h, y_i+k₃).

Comme pour le programme de la méthode d’Euler, nous choisirons de résoudre l’équation différentielle dont la solution exacte est , avec les conditions initiales x₀=0 et y₀=0.

# Méthode de Runge-Kutta...