Géométrie analytique

1. Historique

Dans sa Géométrie de 1637, René Descartes (1596-1650) combine le calcul algébrique et les coordonnées pour résoudre des problèmes de géométrie. Il caractérise chaque courbe par une équation de la forme y=f(x) en se limitant toutefois aux seules équations algébriques. Cette restriction l’amène à exclure du champ de ses recherches les courbes du genre y=xsinx, qu’il qualifie de courbes « mécaniques » (aujourd’hui, ces courbes sont dites « transcendantes »).

Descartes applique avec succès sa méthode à la résolution du problème du géomètre grec Pappus d’Alexandrie (IV^e siècle après J.-C.) : « déterminer le lieu des points tels que, étant donné quatre droites et étant considéré les distances d’un point à chaque droite sous des angles déterminés, le produit de deux distances est égal au produit des deux autres ». Descartes démontre que ce lieu est une conique. Il démontre également que toute équation du second degré en x et y est celle...

1. Historique

Des mots comme « abscisse », « ordonnée » ou « coordonnée » ne seront rigoureusement définis qu’en 1745 dans l’Encyclopédie de Diderot (1713-1784) et d’Alembert (1717-1783). Il faut attendre 1746 pour voir Euler (1707-1783) montrer l’équivalence des deux axes d’un repère du plan et utiliser des changements de repère et de coordonnées. Le plan étant muni d’un repère cartésien, cela permettra à Lagrange (1736-1813) de rétablir cette équivalence en montrant vers 1770 que l’expression ax+by+c=0 caractérise n’importe quelle droite du plan. Cette expression est l’équation cartésienne d’une droite.

2. Recherche de l’équation cartésienne d’une droite dont on connaît deux points

Puisqu’une droite est toujours déterminée par la donnée de deux points distincts, soit A(x₁;y₁) et B(x₂;y₂) deux points différents du plan et soit ∆ la droite qu’ils définissent. Si M(x;y) est un point quelconque de ∆, on détermine l’équation cartésienne de cette droite en écrivant que les vecteurs et sont colinéaires. 

Rappelons que deux vecteurs et sont colinéaires...

1. Vecteurs colinéaires dans l’espace

Rappelons que, dans l’espace, deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel t non nul tel que . En d’autres termes, deux vecteurs colinéaires et ont des coordonnées proportionnelles : x₂ =tx₁y₂ = ty₁ et z₂ = tz₁.

2. Points alignés

Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Le programme qui suit permet de vérifier si trois points de l’espace A, B et C dont les coordonnées sont connues sont alignés ou non.

# Les points A, B et C sont-ils alignés ? 
from math import* 
xA,yA,zA=eval(input("Coordonnées du point A ? ")) 
xB,yB,zB=eval(input("Coordonnées du point B ? ")) 
xC,yC,zC=eval(input("coordonnées du point C ? ")) 
# Calculs et résultats 
a,b,c=xB-xA,yB-yA,zB-zA 
aa,bb,cc=xC-xA,yC-yA,zC-zA 
k1,k2,k3=a*bb-b*aa, b*cc-c*bb,a*cc-c*aa 
if k1==0 and k2==0 and k3==0: 
    print("Les points sont alignés.") 
else : 
    print("Les points ne sont pas alignés.") 

Avec ce programme, on vérifie que les points A(2;-1;3), B(-1;0;4) et C(-2;-1;5) sont alignés tandis que les points A(1;-1;2), B(3;1;-2) et ne le sont pas.

3. Représentation paramétrique d’une droite

1. Historique

L’application des méthodes de la géométrie analytique à l’espace date du début du XVIII^e siècle. En 1740 par exemple, Alexis Clairaut (1713-1765) propose l’équation (x -x_O)² + (y - y_O)² + (z - z_O)² = r² pour la sphère de rayon r et de centre O. Un demi-siècle plus tard, Euler (1707-1783) détermine les équations des autres surfaces du second degré puis, vers 1770, Lagrange (1736-1813) établit les équations du plan et systématise l’utilisation des trois axes de coordonnées pour étudier les problèmes de géométrie dans l’espace. Gaspard Monge (1746-1818) étudie de nouvelles surfaces algébriques. Le XIX^e siècle voit se développer le calcul vectoriel qui s’ajoute aux outils algébriques dont dispose la géométrie analytique.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

2. Détermination de l’équation paramétrique d’un plan

L’espace est muni d’un repère . Soit P un plan défini par la donnée d’un point A(x_A; y_A; z_A) et de deux vecteurs et non colinéaires.

Soit M(x;y;z) un point quelconque du plan P. Les 3 équations , t et Ө étant deux nombres réels, constituent une représentation paramétrique du plan P. Comme un plan est déterminé par la donnée de 3 points...

1. Produit scalaire de 2 vecteurs

Comme dans le plan, on peut effectuer le produit scalaire de 2 vecteurs dans l’espace à condition qu’il soit muni d’un repère orthonormal. Si et sont deux vecteurs de l’espace, leur produit scalaire est le nombre a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂. Les deux définitions suivantes en résultent :

2. Équation d’un plan défini par un de ses points et par un vecteur normal

On démontre qu’un plan est parfaitement défini quand on connaît l’un de ses points et un vecteur normal. On peut donc déterminer son équation cartésienne à partir de ces deux données. Soit un vecteur normal au plan (P), avec (a;b;c)≠(0;0;0), et soit A(x_A;y_A;z_A) un point du plan (P). Si M(x;y;z) est un point quelconque du plan (P), le produit scalaire doit être nul puisque est un vecteur normal du plan.

On a donc a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0 d’où on tire l’équation cartésienne du plan (P) : ax+bx+cz-(ax_A+by_A+cz_A)=0.

# Équation cartésienne d'un plan défini par 1 point et 1 vecteur 
# normal 
from math import* 
xA,yA,zA=eval(input("Coordonnées du point A ? ")) 
a,b,c=eval(input("Coordonnées du vecteur normal au plan...