Matrices 2x2 et matrices 3x3

1. Historique

Le mot « matrice » est la traduction du terme « matrix » fabriqué en 1850 par J.J. Sylvester (1814-1897) à partir du mot latin « mater ». En 1854, Arthur Cayley (1821-1895) associe les matrices aux applications linéaires en écrivant que les matrices sont une « notation commode pour représenter les fonctions linéaires ». Il définit également les opérations usuelles du calcul matriciel, l’addition, la multiplication et le produit par un scalaire. Le nouveau calcul va s’appliquer assez vite aux vecteurs qui viennent d’être définis par H. Grassmann (1809-1877). Comme les premières études concernent surtout le plan et l’espace, on ne considère au début que des matrices carrées d’ordre 2 ou 3. Hamilton (1805-1865) est le premier qui envisage des matrices 4×4 mais ce n’est qu’à la fin du XIX^e siècle que l’on étudie des matrices dont les dimensions sont beaucoup plus grandes.

L’habitude de noter les matrices avec des crochets ou des parenthèses date de 1913. La notation qui consiste à désigner par a_ij le terme situé sur la i^e ligne et sur la j^e colonne date de la même époque. L’algèbre linéaire devient une discipline à part entière en 1888 quand le mathématicien italien G. Peano...

1. Addition, soustraction et multiplication par un réel

1. Considérons deux applications linéaires f et g de l’espace vectoriel E² dans lui-même et désignons par et les matrices qui leur sont associées. Il est facile de voir que la matrice associée à l’application f+g est tandis que celle qui est associée à l’application f-g est . Ainsi, pour et , on aura et .

La matrice est la matrice nulle. Quelle que soit la matrice , on a .

2. Si k est un nombre réel quelconque, la matrice représente l’application linéaire kf définie par . Multiplions par exemple la matrice par 3 à l’aide du petit programme suivant :

# Produit d'une matrice 2x2 par un réel k 
A=[[1,2],[3,4]] 
k=3 
P=[[0,0],[0,0]] 
for i in range(0,2): 
# i prend donc successivement les valeurs 0 et 1 
    for j in range(0,2): 
# j prend  successivement les valeurs 0 et 1 
        P[i][j]=k*A[i][j]  
print("P=",k,"A=",P) 

P=3A= [[3, 6], [9, 12]] 

3. Dans le cas des matrices 3×3, on a les mêmes définitions que dans le cas 2×2. En particulier, est la matrice nulle.

2. Multiplication des matrices carrées de taille 2

En calculant les images d’un vecteur quelconque par f, par g, par gof et par fog, on constate que et sont...

1. Déterminant d’une matrice 2x2

Le déterminant D d’une matrice est le nombre égal à ad-bc et noté ou det(A).

On peut le calculer avec le programme qui suit.

# Calcul du déterminant d'une matrice de taille 2x2 
from math import* 
def det(a,b,c,d): 
    return a*d-b*c 
# Entrée des coefficients de la matrice A 
a,b=eval(input("Entrez a11 et a12 : ")) 
c,d=eval(input("Entrez a21 et a22 : ")) 
# Calculs et résultats 
D=det(a,b,c,d) 
print("Le déterminant de la matrice est égal à ",D) 

Exemple : le déterminant de est -2.

Entrez a11 et a12 : 1,2 
Entrez a21 et a22 : 3,4 
Le déterminant de la matrice est égal à  -2 

Observons que si la matrice est diagonale, son déterminant est le produit de ses éléments diagonaux. Ainsi, le déterminant de la matrice est égal à 2 × 5 = 10.

Il en va de même pour des matrices triangulaires comme et dont les déterminants sont égaux au produit de leurs éléments diagonaux, c’est-à-dire -2 et -3 respectivement.

2. Déterminant d’une matrice 3x3

Soit une matrice...

1. Qu’est-ce qu’une matrice inversible ?

On dit qu’une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice notée A^-1 telle que A×A^-1=A^-1×A=Id. On démontre que A est inversible si et seulement si son déterminant n’est pas nul.

Exemple : est l’inverse de .

2. Inverse d’une matrice carrée 2x2

Soit une matrice inversible dont le déterminant det(A)=ad-bc n’est pas nul. A est donc inversible. Laplace a montré que . Dans quelques cas particuliers, il est facile de former l’inverse d’une matrice carrée de taille 2. Ainsi, l’inverse d’une matrice diagonale de la forme est une matrice diagonale .

De même, l’inverse d’une matrice triangulaire de la forme est la matrice triangulaire de la forme . Notons , quand elle existe, la matrice inverse d’une matrice carrée . Le programme de calcul de B est le suivant :

# Inversion d'une matrice carrée A de taille 2 
from math import* 
# Entrée des coefficients de A 
a,b=eval(input("Valeur de a11 et de a12 ? ")) 
c,d=eval(input("Valeur de a21 et de a22 ? ")) 
# Calculs et résultats 
det=a*d-b*c 
if abs(det)<0.001: 
    print("Matrice singulière.") 
else: 
    L1=[d/det,-b/det] 
    L2=[-c/det,a/det] ...

1. Un exemple historique

Pour résoudre un système comme dans l’ancienne Chine, on commençait par disposer des baguettes sur une table à calculer. Des baguettes noires représentaient des nombres positifs tandis que des baguettes rouges représentaient des nombres négatifs. La méthode utilisée consistait à changer les coefficients du système en utilisant des combinaisons de lignes et de colonnes. Les calculs étaient choisis pour faire apparaître d’abord un 0 dans la case située à l’intersection de la ligne 2 et de la colonne 2 puis un 0 dans la case située à l’intersection de la ligne 1 et de la colonne 1.

Résolvons par cette méthode le système écrit quelques lignes plus haut en utilisant cependant nos propres notations.

1. On garde la première ligne. On multiplie les nombres de la seconde ligne par 3 et, dans chaque colonne, on ajoute le nombre correspondant de la première ligne. On obtient d’où on tire .

2. On reprend le tableau du début. On garde la première ligne mais on multiplie les nombres de la seconde par 2. Dans chaque colonne, on ajoute trois fois le nombre correspondant de la première ligne. On obtient d’où on tire .

Les mathématiciens chinois ont été les premiers à utiliser des tableaux de nombres pour résoudre des systèmes d’équations. En Europe, ils sont apparus pour la première fois en 1545 dans...

1. Puissance d’une matrice 2x2

Soit une matrice carrée d’ordre 2. Proposons-nous de calculer Aⁿ pour n entier positif. On peut utiliser le programme suivant :

# Puissance d'une matrice 2x2 
from math import* 
# Entrée des données 
a,b=eval(input("Coefficients de la 1ère ligne : ")) 
c,d=eval(input("Coefficients de la 2ème ligne : ")) 
n=eval(input("Valeur de l'exposant ?")) 
# Calculs et résultats 
A1,B1,C1,D1=1,0,0,1 
for i in range(0,n): 
    A2=A1*a+B1*c 
    B2=A1*b+B1*d 
    C2=C1*a+D1*c 
    D2=C1*b+D1*d 
    A1,B1,C1,D1=A2,B2,C2,D2 
M=[[A1,B1],[C1,D1]] 
print("Résultat du calcul :", M) 

Pour n=3, on obtient .

Coefficients de la 1re ligne : 1,2 
Coefficients de la 2e ligne : 3,4 
Valeur de l'exposant ? 3 
Résultat du calcul : [[37, 54], [81, 118]] 

2. Puissance d’une matrice 3x3

Si A est une matrice carrée d’ordre 3, en modifiant un peu le programme précédent, on pourra calculer une puissance nième Aⁿ pour n entier positif.

# Puissance d'une matrice 3x3 
from math import* 
# Entrée des données 
a,b,c=eval(input("Entrer les 3 coefficients de la 1re ligne : ")) 
d,e,f=eval(input("Entrer les 3 coefficients de la 2e ligne : ")) 
g,h,i=eval(input("Entrer les 3 Coefficients...

1. Les matrices diagonisables

Soient A, B et P trois matrices 2×2 telles que AP=PB. Par récurrence sur n ≥ 1, on démontre facilement que AⁿP=PBⁿ. Si P est inversible et si B est une matrice diagonale , on a A=PBP^-1 et Aⁿ=PBⁿP^-1. On dit que A est une matrice diagonalisable. La puissance n^ième de A est alors beaucoup plus simple à calculer puisque .

2. Étude d’un exemple

Pour montrer comment il est possible de diagonaliser une matrice, prenons l’exemple d’une matrice . Cherchons une matrice et une matrice telles que . Cette recherche nécessite la détermination, si elles existent, des valeurs propres de et des vecteurs propres qui lui sont associés.

1. Supposons les vecteurs et différents de et supposons les nombres λ₁ et λ₂ non nuls. Dans ces conditions, on peut observer que et que . L’équation AX=λX a des solutions en λ et en X. On dit qu’une valeur de λ qui est solution de cette équation est une valeur propre de la matrice A et qu’un vecteur X qui est solution de cette équation est un vecteur propre associé à une certaine valeur propre λ.

2. Sous forme matricielle, l’équation peut s’écrire (A-λI)X=0, I désignant la matrice identité et 0 la matrice nulle. Comme le vecteur X ne peut pas être nul, cette équation signifie que l’application linéaire associée à la matrice A-λI n’est pas une bijection car le vecteur aurait alors plusieurs antécédents. La matrice A-λI n’est donc pas inversible...

1. Rappel : les nombres de Fibonacci

Pour tout entier naturel n, les nombres de Fibonacci F₀, F₁, F₂, etc. sont définis par la relation de récurrence F_n+2=F_n+1+F_n avec F₀=F₁ =1.

2. Calcul des nombres de Fibonacci à l’aide d’une matrice 2x2

Définissons une suite (V_n) de vecteurs-colonne par avec . Si M est la matrice , on a alors V_n+1=MV_n pour tout entier naturel n d’où, par récurrence sur n, V_n=MⁿV₀. En adaptant le programme qui permet d’élever une matrice carrée à la puissance n, on peut utiliser cette relation de récurrence pour écrire un programme qui calculera les n premiers nombres de Fibonacci.

from math import* 
# Coefficients de la matrice M 
a,b,c,d=1,1,1,0 
liste=[] 
n=eval(input("Valeur de n ? ")) 
# Calcul de Mn et affichage des résultats 
A1,B1,C1,D1=1,0,0,1 
for i in range(0,n): 
    A2=A1*a+B1*c 
    B2=A1*b+B1*d 
    C2=C1*a+D1*c 
    D2=C1*b+D1*d 
    A1,B1,C1,D1=A2,B2,C2,D2 
    liste=liste+[C1] 
print(liste) 

Pour n=12, on obtient la liste [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144].

3. Les relations de Binet

Pour calculer Mⁿ, diagonalisons la matrice M. Les valeurs propres de cette matrice sont les racines et de son polynôme caractéristique λ² - λ - 1 = 0. Une fois calculés les vecteurs propres qui sont associés aux valeurs propres, on obtient (avec Python...